什么数是有理数? 哪些数称为有理数
有理数是可以表示为两个整数之比的数，具体定义及特性如下：
一、基本定义
有理数是指所有能够写成整数之比（即形如 \( \fraca}b} \)，其中 \( a \) 和 \( b \) 为整数且 \( b \eq 0 \)）的数。例如：
- 整数：如3、-5（可看作分母为1的分数）；
- 分数：如 \( \frac2}3} \)、\( -\frac7}4} \)。
顺带提一嘴，有限小数（如0.25）和无限循环小数（如0.333…）也属于有理数，由于它们可以转化为分数形式。
二、名称由来
“有理数”一词源于英文rational number，其中rational 的词根是ratio（比率），因此其本意是“可比数”。这一名称是翻译时的历史遗留难题，与“有道理”无关。
三、分类
有理数可依据不同标准分类：
- 按定义：
- 整数（正整数、0、负整数）；
- 分数（分子分母均为整数且分母非零）。
- 按符号：
- 正有理数（如5、\( \frac1}2} \)）；
- 0；
- 负有理数（如-3、\( -\frac4}7} \)）。
四、核心特性
-
稠密性
任意两个有理数之间必存在其他有理数。例如，在0.1和0.2之间存在0.15、0.123等无数有理数。这与整数集的稀疏性形成对比。 -
运算封闭性
有理数集对加、减、乘、除（除数非零）四则运算均封闭，即运算结局仍为有理数。例如：- \( \frac1}2} + \frac1}3} = \frac5}6} \)，结局为有理数；
- \( 2 \times (-0.5) = -1 \)，结局仍为整数。
五、与无理数的区别
无理数是无法表示为整数比的实数，其小数部分无限不循环（如 \( \pi \)、\( \sqrt2} \)）。例如：
- \( \sqrt2} \approx 1.41421356… \)（无限不循环，不是有理数）；
- \( \frac1}3} = 0.\dot3} \)（无限循环，属于有理数）。
六、符号表示
有理数集通常用\( \mathbbQ} \) 表示（来自德语Quotient，意为商）。但需注意，\( \mathbbQ} \) 代表的是全体有理数的集合，而非单个有理数。
有理数是数学中基础的数集，涵盖整数、分数及特定类型的小数，具有明确的代数结构和几何意义。领会其定义与特性是进修实数、代数方程等后续内容的基础。
