等差数列和等比数列的公式在数学中，数列是一种按照一定顺序排列的数的集合。其中，等差数列和等比数列是两种常见的数列类型，它们在实际难题中应用广泛，尤其在数学、物理、工程等领域中具有重要的意义。这篇文章小编将对等差数列和等比数列的基本公式进行划重点，并以表格形式清晰展示。
一、等差数列
等差数列是指从第二项开始，每一项与前一项的差为一个常数的数列。这个常数称为公差，通常用 $ d $ 表示。
基本公式：
– 通项公式：
$$
a_n = a_1 + (n – 1)d
$$
其中，$ a_1 $ 是首项，$ n $ 是项数，$ d $ 是公差。
– 前 $ n $ 项和公式：
$$
S_n = \fracn}2}(a_1 + a_n) = \fracn}2}[2a_1 + (n – 1)d
$$
– 性质：
若 $ a, b, c $ 成等差数列，则 $ 2b = a + c $。
二、等比数列
等比数列是指从第二项开始，每一项与前一项的比为一个常数的数列。这个常数称为公比，通常用 $ r $ 表示。
基本公式：
– 通项公式：
$$
a_n = a_1 \cdot r^n – 1}
$$
其中，$ a_1 $ 是首项，$ n $ 是项数，$ r $ 是公比。
– 前 $ n $ 项和公式：
$$
S_n = a_1 \cdot \frac1 – r^n}1 – r} \quad (r \neq 1)
$$
当 $ r = 1 $ 时，所有项相等，即 $ S_n = n \cdot a_1 $。
– 性质：
若 $ a, b, c $ 成等比数列，则 $ b^2 = a \cdot c $。
三、对比拓展资料（表格）
| 项目 | 等差数列 | 等比数列 |
| 定义 | 每项与前一项的差为常数 | 每项与前一项的比为常数 |
| 公差 | $ d $ | $ r $ |
| 通项公式 | $ a_n = a_1 + (n – 1)d $ | $ a_n = a_1 \cdot r^n – 1} $ |
| 前 $ n $ 项和公式 | $ S_n = \fracn}2}(a_1 + a_n) $ 或 $ S_n = \fracn}2}[2a_1 + (n – 1)d] $ | $ S_n = a_1 \cdot \frac1 – r^n}1 – r} $（$ r \neq 1 $） |
| 独特情况 | $ r = 1 $ 时，数列为常数列 | $ r = 1 $ 时，数列为常数列 |
| 数学性质 | 中间项是两边之和的一半 | 中间项是两边乘积的平方根 |
怎么样？经过上面的分析拓展资料可以看出，等差数列和等比数列虽然在结构上有所不同，但它们都具有明确的规律性和可计算性，是进修数列聪明的重要基础。掌握这些公式，有助于解决实际难题，进步数学思考能力。
